Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (2022)

Função quadrática, também conhecida como função do segundo grau é a função dada por uma função Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (1), tal que Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (2), com lei de formação Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (3).

Tal função, assim como a função afim, pode ser representada graficamente e seu comportamento gráfico é bem característico, fazendo com que um gráfico de uma função quadrática seja facilmente identificado. O gráfico de uma função do segundo grau é caracterizado por uma parábola e a utilidade dessa curva matemática pode se estender desde os estudos de comportamentos de crescimento, quanto para a forma de antenas parabólicas.

Definição de função quadrática

A função quadrática, também conhecida como função do 2° grau, é definida, como citado anteriormente, por uma função que parte dos Reais para os Reais com um comportamento regido pela lei de formação Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (4), em que o coeficiente “a” não pode ser nulo. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo:

A função Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (5) é uma função quadrática, uma vez que Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (6);

Exemplo:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (7) é, também, uma função quadrática, uma vez que Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (8), ainda que Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (9);

Exemplo:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (10) também é função quadrática, uma vez que Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (11), ainda que Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (12).

Raízes da função quadrática

Dada uma função do segundo grau f, as raízes da função serão os pontos em que a curva gráfica irá cortar o eixo das abscissas (eixo Ox). As raízes da função quadrática também podem ser chamadas de zeros da função.

Vale a observação de que tal definição também era válida para a função afim, mas, diferentemente dessa, a função quadrática poderá conter até dois pontos que cortem o eixo Ox, em que devemos dar ênfase ao “até” dois pontos. Como veremos na seção seguinte, a função quadrática poderá cortar o eixo Ox em um, dois ou, ainda, em nenhum ponto.

Assim, os pontos onde a curva da função corta o eixo Ox são os pontos Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (14) e Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (15), em que x’ e x” são as raízes cujos valores são determinados à partir do pressuposto Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (16).

Ao decorrer do desenvolvimento da matemática, algumas formas foram sendo propostas para a resolução das equações (Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (17)) que determinassem as raízes da função quadrática derivadas do pressuposto Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (18), citado anteriormente. Vejamos a seguir algumas destas formas.

Fórmula de Bhaskara

Afórmula de Bhaskara, oumétodo resolutivo, é definida por duas operações envolvendo os coeficientes da equação do segundo grau. Cada uma das duas operações resulta em um possível valor para a raiz:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (19)

Em que “a”,”b” e “c” são os coeficientes da equação e x’ é uma possível solução da equação Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (20) e, portanto, uma possível raiz da função quadrática.

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (21)

Em que “a”, ”b” e “c” são os coeficientes da equação e x’’ é outra possível solução da equação Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (22) e, portanto, uma segunda possível raiz da função quadrática.

Perceba que a diferença entre a primeira e a segunda fórmula é apenas o sinal da raiz quadrada, no numerador. Podemos, então, condensar a fórmula da seguinte maneira:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (23)

Deste modo, faremos uma operação para o sinal daadiçãoe outra para asubtração.

Ainda, podemos simplificar a fórmula de Bhaskara definindo o parâmetro Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (24)(delta), também chamado de discriminante:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (25)

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (26)

Relação entre Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (27) e as raízes

O parâmetro Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (28) é também chamado de discriminante, porque é seu valor que discrimina, distingue, o tipo de raízes que a função quadrática terá. Ou seja, dependendo do valor de Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (29), há diferentes tipos de as raízes:

Para Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (30), teremos duas raízes reais distintas, ou seja, x’Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (31) x”;

Para Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (32), teremos duas raízes reais, porém iguais, ou seja,x’=x”. Como as raízes são iguais, de forma equivalente, podemos dizer que há apenas um resultado real, tal que a função toca o eixo x em apenas um ponto;

Para Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (33),não teremos raízes reais (que pertencem ao conjunto dos números reais), pois pelas propriedades deraiz quadrada, não existe valor real que satisfaça a raiz quadrada de um valor negativo.

Exemplo:

Para encontrar as raízes da função Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (35), temos primeiramente que assumir Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (36) e calcular a fórmula de Bhaskara;

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (37)

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (38)

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (39)

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (40)

Assim,Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (41);

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (42)

Encontramos a primeira raiz fazendo a operação com o sinal positivo:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (43)

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (44)

Encontramos a segunda raiz fazendo a operação com o sinal negativo:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (45)

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (46).

Relação entre coeficientes e raízes

Podemos encontrar as raízes de uma função quadrática também pelo método dasoma e produto. Esse método consiste em enxergar a equação do segundo grau (Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (47)) da seguinte maneira:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (48), onde s=soma das raízesep=produto das raízes.

Perceba que para utilizar este método, Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (49). Caso “a” não seja igual a 1, basta dividir toda a equação por “a”para chegar nesse formato. A partir daqui, devemos encontrar dois números que somados dãose, simultaneamente, multiplicados dãop. Esses dois números são as raízes da função quadrática.

Exemplo: Determinar as raízes da função quadrática Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (50), pelo método da soma e produto.

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (51) à Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (52) à Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (53) e Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (54). Os números procurados são Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (55) e Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (56) pois:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (57) e Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (58), portanto as raízes da função são Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (59) e Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (60).

Exemplo: Sabendo que as raízes de uma função quadrática são x’=1 e x’’=2, determine qual é essa função.

Soma das raízes: Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (61);

Produto das raízes: Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (62);

Equação do segundo grau: Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (63)

Função do segundo grau: Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (64)

Fatoração do trinômio do segundo grau

Outro importante método para se encontrar as raízes da função quadrática é a fatoração do trinômio do segundo grau, no qual se deve transformar o trinômio em um produto de dois fatores do primeiro grau.
Dada a equação característica para se encontrar as raízes, Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (65), tal que Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (66), podemos colocar o termo “a” em evidência de maneira que se obtém:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (67)

E, portanto,

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (68).

Mas, como vimos no método da soma e produto: Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (69) e Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (70), então:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (71)

Fazendo a multiplicação distributiva:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (72)

Rearranjando os termos:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (73)

Colocando x e x’ em evidência:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (74)

Colocando (x-x”) em evidência:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (75)

Assim, podemos fatorar Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (76).

Forma canônica

Outra maneira que se pode representar a função do segundo grau é em sua forma canônica, uma forma muito relevante quanto à demonstração de muitas propriedades importantes.

Como visto anteriormente, podemos denotar a função do 2° grau por:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (77)

Se somarmos e subtrairmos, ao mesmo tempo, o parâmetro Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (78):

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (79)

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (80), uma vez que Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (81) é um quadrado perfeito.

Portanto têm-se que:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (82)

E:

Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (83).

Gráfico da função quadrática:

A curva da função quadrática é denominada parábola e algumas propriedades notáveis da relação da parábola com sua devida lei de formação podem ser listadas:

1) Assim como na função afim, a parábola sempre cortará o eixo das ordenadas no ponto P(0,c) em que “c” é o termo independente de Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (84). Ou seja, para Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (85), quando Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (86), temos Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (87).

2) Toda função quadrática com coeficiente “a” negativo possui concavidade (abertura) voltada para baixo e toda função quadrática com coeficiente “a” positivo possui concavidade voltada para cima.

3) Como já vimos, a parábola pode cortar o eixo das abscissas em dois pontos quando Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (90) e f possui duas raízes reais x’ e x”; em um único ponto, quando Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (91) e consequentemente x’=x”, ou; em nenhum ponto quando Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (92), pois não existirão soluções reais para as raízes:

4) Toda parábola é uma curva simétrica com pontos simétricos espelhados sob um eixo de simetria paralelo a Oy.

A figura abaixo resume as possibilidades para construção do gráfico da função de 2º grau.

Vértice

Chama-se vértice da função quadrática o ponto V que pertence à parábola e que se encontra sobre o eixo de simetria desta, a partir do qual há uma mudança no crescimento da função, ou seja, para funções com concavidade para cima, os valores de f(x) passam a ser crescentes após V e para funções com concavidade para baixo os valores de f(x) passam a ser decrescentes após V.

Podemos calcular as coordenadas do vértice pela fórmula Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (96), onde “a” e “b” são os coeficientes da função Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (97).

Construção do gráfico

Para a construção do gráfico da função quadrática, assim como na função afim, alguns pontos notáveis precisam ser determinados:

Primeiramente, dada a lei de formação da função, um ponto muito importante a ser determinado graficamente é o vértice, pois sobre o mesmo podemos representar o local do eixo de simetria da curva.

Podemos obter o vértice pela expressão no ponto Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (99).

Deve-se observar, também, o sinal do coeficiente “a” da função, uma vez que este determina para onde estará voltada a concavidade da parábola.

Outros dois pontos notáveis são os pontos (x’,0) e (x”,0) em que x’ e x” são as raízes da função e por estes a função corta o eixo Ox. No caso em que a função não possuir raízes reais, os pontos (x’,0) e (x”,0) não são utilizados.

Podemos encontrar as raízes pelos métodos resolutivos introduzidos nos tópicos acima.

Por fim, o ponto (0,c), ou seja, onde a curva corta o eixo Oy, com Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (100), deve ser destacado.

Com estes pontos a função pode ser representada graficamente.

Exemplo:

Para a função Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (101):

O vértice será dado pelo ponto Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (102);

O ponto em que f cortará o eixo Oy é dado por (0,6);

Por soma e produto temos que as raízes da função são -2 e -3 e, portanto os pontos (0,-2) e (0,-3) são onde a função corta o eixo Ox.

Exemplo:

Para a função Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (104)

O vértice será dado pelo ponto V (0,3);

O ponto em que f cortará o eixo Oy é dado por (0,3);

Pela fórmula de Baskhara as raízes função são Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (105) e Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (106) e, portanto os pontos Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (107) e Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (108) são onde a função corta o eixo Ox.

Análise de sinais

Para qualquer função, a análise de sinais é fundamental para compreender quando uma função é nula, positiva, ou negativa.

Para a função quadrática, f(x) é positivo quando a parábola está acima do eixo Ox do plano cartesiano e negativa quando a parábola está abaixo do eixo Ox. Vale notar que as raízes da função do segundo grau determinam o momento em que a curva vale zero em Oy.

Assim, de forma equivalente à função afim, devemos analisar o coeficiente “a” de Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (110), para começarmos o estudo dos sinais. Se Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (111), a concavidade da função será voltada para cima e, se além disso, as raízes forem reais e distintas a parte da parábola que estiver entre as raízes será negativa e as partes que não estiverem entre as raízes serão positivas.

De mesma maneira, se Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (113) e as raízes forem reais e distintas, a parábola terá concavidade voltada para baixo, a função será positiva entre as raízes e negativa fora desse intervalo.

Por outro lado, se a função possuir apenas um resultado real para suas raízes, ou nenhum resultado real, a função irá assumirá valores apenas positivos ou negativos, dependendo de “a”: Se Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (115), a função terá valores positivos apenas e, se Função quadrática | Realize - Tutoria Educacional (116), possuirá valores negativos apenas.

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Author: Eusebia Nader

Last Updated: 11/29/2022

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