Gráficos de funções quadráticas (2022)

Uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é chamada de função quadrática. O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. Isso pode ser observado no Geogebra. Para isso basta digitar “f(x)=a*x^2+bx+c” na caixa de “Entrada” e teclar “Enter”. Quando perguntado se deseja criar controles deslizantes para a, b e c, responda que sim. O gráfico obtido pode ser modificado arrastando os pontos dos controles deslizantes. Note também que na “Janela de Visualização” é exibida a função para os coeficientesa,becselecionados nos respectivos controles deslizantes, Figura 1. Altere os valores dea,bece tentecompreender como cada um dos coeficientes influencia na forma do gráfico. Anote todas as suas conclusões!

Gráficos de funções quadráticas (1)

Figura 1

Antes de analisarmos os coeficientes, vamos estabelecer uma convenção. Vamos dizer que uma parábola tem a concavidade voltada para cimase existir um ponto do gráfico que está “abaixo” de todos os outros. E, ao contrário, vamos dizer que a parábola tem a concavidade voltada para baixo se existir um ponto do gráfico que está “acima” de todos os demais. Em ambos os casos, tal ponto é chamado de vértice da parábola, Figura 2.

Gráficos de funções quadráticas (2)

Figura 2

Voltando nossas atenções aos coeficientes vemos que o coeficiente a, por exemplo, altera a concavidade, o vértice e a “abertura” da parábola. Primeiramente, analisaremos a concavidade e a “abertura”, visto que o vértice também é influenciado pelos coeficientes b e c.
Sobre a concavidade é fácil notar que se a > 0então a concavidade é voltada pra cima e sea < 0então a concavidade é voltada pra baixo. Note também que o coeficiente a influencia na “velocidade” (taxa) de crescimento e decrescimento da função. Isto é, se a for positivo e razoavelmente grande os trechos de crescimento e decrescimento do gráfico tendem a ficar mais acentuados, primeiro gráfico da Figura 3. Enquanto para a positivo e muito pequeno a curva sofre variações mais suaves, segundo gráfico da Figura 3.

Gráficos de funções quadráticas (3)

Figura 3

Quando o a é negativo algo semelhante acontece. Verifique e escreva suas conclusões! Vale observar ainda que o ponto de interseção entre o eixo y e o gráfico se mantém o mesmo. Justifique este fato!

Já o coeficienteb não altera a concavidade e nem a “abertura” da parábola, mas provoca simultaneamente uma translação horizontal e vertical. O ponto de interseção do gráfico com o eixo y também se mantém o mesmo para diferentes valores do coeficiente b. Note que quando os valores de b variam o vértice parece descrever uma parábola com a concavidade oposta à parábola original e com o vértice sobre o eixo y, Figura 4. Para os propósitos pretendidos neste texto estas observações são suficientes, caso seja de seu interesse, ao final do texto em (*) é apresentada uma justificativa para tal fato.

Gráficos de funções quadráticas (4)

Figura 4

O coeficiente cé um coeficiente independente, ele não está multiplicado por nenhuma potência de x. Por esta razão ele é o ponto de interseção entre a parábola e o eixo y, independentemente dos valores de a e b, pois x = 0 implica em f(x) = c. Isto é, o ponto (0,c) do eixo y é também um ponto da parábola. O coeficiente c não interfere na concavidade e nem na abertura, quando se altera o valor de c a parábola sofre apenas uma translação vertical. Verifique!

Em várias situações problemas encontrar o vértice de uma parábola pode ser a solução procurada. Veja por exemplo o tópico intitulado “O bicho da maçã”. O bicho da maçã é a lagarta da mariposaCydia pomonellae um estudo sobre esta mariposa mostrou que a porcentagem de ovos que eclodem (H) está em função da temperatura do ar (T), Figura 5, por meio da seguinte expressão

Gráficos de funções quadráticas (5)

,desde que15 ≤ T ≤ 30.


Gráficos de funções quadráticas (6)

Figura 5

Neste caso, a primeira coordenada do vértice do gráfico representa a temperatura ideal para a eclosão dos ovos da mariposa, o que ocorre quando a temperatura se mantém em aproximadamente 23ºC.

Voltando ao caso geral,f(x) = ax2+ bx + c, notamos que no vértice da parábola a reta tangente é paralela ao eixo x, Figura 6. Isto significa dizer que a inclinação ou o coeficiente angular desta reta e igual a zero. Como a inclinação da reta tangente é exatamente a derivada da função no ponto em questão, no nosso caso oxv, então f ' (xv) = 0. Como aparábola só possui um ponto onde isto ocorre, o vértice, podemos encontrar a coordenadaxvresolvendo a equação f ' (x) = 0. A calculadora de derivadaspode nos ajudar a derivar a funçãof(x) = ax2+ bx + c. Em seguida, basta igualar o valor encontrado a zero e obter o valor de x que satisfaz a referida equação. O valor encontrado deve ser
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Figura 6

Por exemplo, no caso da função quadrática definida por H(T) = - 0,63 T2+ 29T - 238e discutida anteriormente, a coordenada x do vértice é

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Isto é, a temperatura ideal para a eclosão dos ovos da mariposa é de aproximadamente 23ºC. Calculando H(23,02) obtemos a maior porcentagem de ovos eclodidos.

Em outras situações é importante conhecer os pontos de interseção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x. É fácil ver que a interseção do gráfico, uma parábola, com o eixo x ocorre em um único ponto ou em dois pontos. Ou então não há interseção. A coordenada x de um tal ponto de interseção é chamada de raiz da função. Isto é, x0 é raiz de f(x) se f(x0) = 0. No caso da função quadrática as raízes podem ser obtidas pela Fórmula de Bhaskara (**). Esta fórmula pode ser obtida pelo site do WolframAlpha, basta digitar a equação que se deseja resolver,ax2+ bx + c = 0, e será exibida a primeira igualdade abaixo.

Gráficos de funções quadráticas (10)


É fácil ver que uma parábola pode intersectar o eixo x em um ou dois pontos ou ainda não intersectar este eixo.Analisando a Fórmula de Bhaskara podemos ver os três casos olhando para o valor de∆:

  1. Casob2- 4ac = 0a raiz se reduz aoxv.Ou, o gráfico da função tem um único ponto de interseção com o eixox.
  2. Casob2- 4ac > 0a Fórmula de Bhaskara oferece duas raízes distintas. Ou, o gráfico da função tem dois pontos de interseção com o eixox.
  3. Casob2- 4ac < 0a Fórmula de Bhaskara não tem solução no conjunto dos números reais. Ou, o gráfico da função não tem interseção com o eixox.

Arraste os gráficos do applet abaixo e confira.

    (*) A parábola descrita pelo vértice é o gráfico da função yvem função de xv.Sabemos que

    Gráficos de funções quadráticas (11)

    Faremos o seguinte, escreveremos b em função do xv. Deste modo obtemos

    Gráficos de funções quadráticas (12)

    Ou ainda,

    Gráficos de funções quadráticas (13)

    A partir desta última equação podemos ver que o gráfico descrito pelo vértice é de fato uma parábola com vértice sobre o eixo y e com a concavidade oposta a parábola original. E ainda, podemos ver que as duas parábolas apresentam o mesmo ponto de intersecção com o eixo y. Tente justificar este fato!

    (**) Mostraremos aqui como obter a fórmula de Bhaskara uma vez conhecida a coordenada x do vértice.

    Se a intersecção entre a parábola e o eixo x ocorre em um único ponto, então este ponto é o vértice e o xv é a raiz. Caso ocorra em dois pontos, digamos nos pontos de abscissa x1 e x2, podemos concluir que o xv é o ponto médio. Logo, Gráficos de funções quadráticas (14), para algum número positivo h, Figura 7.

    Gráficos de funções quadráticas (15)

    Figura 7

    Sabendo que x1 e x2 são raízes, temos f(x1) = 0 e f(x2) = 0. Ou ainda, escrito de outra forma

    Gráficos de funções quadráticas (16)

    SubstituindoGráficos de funções quadráticas (17)nas equações (I) e (II) obtemos,

    Gráficos de funções quadráticas (18)

    Ou ainda,

    Gráficos de funções quadráticas (19)


    Somando as duas equações anteriores, temos

    Gráficos de funções quadráticas (20)


    Simplificando por 2, a equação anterior pode ser reescrita como

    Gráficos de funções quadráticas (21)

    Isolando h, segue

    Gráficos de funções quadráticas (22)


    Substituindo Gráficos de funções quadráticas (23) na última equação, segue

    Gráficos de funções quadráticas (24)

    Logo as raízes são:

    Gráficos de funções quadráticas (25)


    Mais precisamente:

    Gráficos de funções quadráticas (26)


    Analisando os casos∆ > 0,∆ < 0 e∆ = 0,estendemos as expressões anteriores para todos os casos.

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    Author: Gov. Deandrea McKenzie

    Last Updated: 12/08/2022

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