HPdeMat - Função do 2º Grau (2022)

Uma função f: IR IR cuja lei de formação é dada por:
f(x) = a x2 + b x + c, com a, b, c reais, e, a ≠ 0, édita:
função polinomial do 2° grau, função do 2° grau, ou,
função quadrática.

Exemplos:
a) f(x) = x2 – 2 x + 1
b) f(x) = – x2 + HPdeMat - Função do 2º Grau (1)
c) f(x) = x2 – 4 x


O motivo pelo qual o real "a" não pode ser zeroéque:
caso fosse zero, a função não teria o termo de grau 2.
f(x) = 0 ⋅ x2 + b x + c, ficaria:
f(x) = 0 + b x + c
f(x) = b x + c  (uma função afim).


Observações:

"a" é o coeficiente do termo de expoente 2,
"b" é o coeficiente de termo de expoente 1, e
"c" é o coeficiente independente (sem a variável).

Assim, em f(t) = 6 t + 3 – 4 t2, tem-se:
a = – 4,  b = 6  e  c = 3.


RaízesouZeros da Função do 2° Grau

Para se obter os zeros de uma função, o f(x) tem que ser zero.

Daí, se tem:
f(x) = a x2 + b x + c = 0
0 = a x2 + b x + c  (uma equação do 2° grau)

Que pode ser resolvida pela fórmula:
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (2)  onde  Δ = b2 – 4⋅a⋅c

Se  Δ < 0, as raízes não são reais (não tem raiz real).
Se  Δ = 0, as raízes são reaiseiguais (tem uma raiz real).
Se  Δ > 0, há duas raízes reais edistintas.


Exemplo:
Obtenha os zeros da função real cuja lei é:
f(x) = x2 – 4 x

Encontrando Δ:
Δ = b2 – 4 ⋅a⋅c
Δ = (– 4)2 – 4⋅1⋅0
Δ = 16

Como Δ > 0 entãohá duas raízes distintas.

Encontrando as raízes de:
f(x) = x2 – 4 x

Tomando f(x) = 0:
x2 – 4 x = 0
x ⋅ (x – 4) = 0  (com "x" em evidência)

Um produto de reais igual a zero, daí:
x = 0   ou   x – 4 = 0

Em   x – 4 = 0   se tem   x = 4

Portanto, as raízes são  x = 0   e   x = 4.


Representação Gráfica

O gráfico de uma função do 2° grau ésempre uma curva,
e essa curva é chamada de parábola.


Se a > 0 a concavidade HPdeMat - Função do 2º Grau (3) da parábola é voltada para cima e se, a < 0 a concavidade HPdeMat - Função do 2º Grau (4) é voltada para baixo.


As raízes, se existirem, interceptam o eixo das abscissas.

No geral há seis casos possíveis:

①  Sendo  a > 0
HPdeMat - Função do 2º Grau (5)   Δ > 0

②  Sendo  a > 0
HPdeMat - Função do 2º Grau (6)   Δ = 0

③  Sendo  a > 0
HPdeMat - Função do 2º Grau (7)   Δ < 0


④  Sendo  a < 0
HPdeMat - Função do 2º Grau (8)  Δ > 0

⑤  Sendo  a < 0
HPdeMat - Função do 2º Grau (9)   Δ = 0

⑥  Sendo  a < 0
HPdeMat - Função do 2º Grau (10)   Δ < 0


Vértice da Parábola

O vértice da parábolaéo ponto onde a curva muda de sentido.

Esse ponto érepresentado por V(xV , yV), sendo:
xV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (11)  e  yV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (12)

NOTA:
O sinal negativo na frente da fração, inverteo sinal final.


Logo, o vértice é dado por:
V(– HPdeMat - Função do 2º Grau (13) , – HPdeMat - Função do 2º Grau (14))


Clique para ver a Demonstração

A parábola é uma curva simétrica, isto é,
a parte crescente é um espelho da parte decrescente.
HPdeMat - Função do 2º Grau (15)  o eixo de simetria é x = xV
Por ser simétrica as raízes são equidistantes, e,
"xV" é o ponto médio das raízes.

A soma das raízes, x′ + x′′, de uma equação do 2º grau é dada por:

HPdeMat - Função do 2º Grau (16) + HPdeMat - Função do 2º Grau (17) = HPdeMat - Função do 2º Grau (18) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (19) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (20)

O ponto médio das raízes é dado por:  HPdeMat - Função do 2º Grau (21)
HPdeMat - Função do 2º Grau (22) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (23)HPdeMat - Função do 2º Grau (24) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (25)

O correspondente do vértice de "x"  é  o vértice de "y", isto é:
f(xV) = yV

f(x) = a x2 + b x + c
f(xV) = a ⋅ (xV)2 + b ⋅ xV + c
yV = a ⋅ [ – HPdeMat - Função do 2º Grau (26) ]2 + b ⋅ (– HPdeMat - Função do 2º Grau (27)) + c
yV = aHPdeMat - Função do 2º Grau (28) + c

MMC(4 a2, 2 a) = 4 a2

yV = HPdeMat - Função do 2º Grau (29)
yV = HPdeMat - Função do 2º Grau (30)

Colocando  – a  em evidência:
yV = HPdeMat - Função do 2º Grau (31)

Simplificando;
yV = HPdeMat - Função do 2º Grau (32)

Portanto,   yV = HPdeMat - Função do 2º Grau (33) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (34)


Exemplo:
Obtenha o vértice da parábola cuja lei é:  f(x) = x2 – 4 x

Como a = 1, b = – 4, c = 0 e Δ = 16, as coordenadas do vértice são:

A abscissa do vértice:
xV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (35)
xV = HPdeMat - Função do 2º Grau (36)   (como HPdeMat - Função do 2º Grau (37) é negativo o resultado é positivo)
xV = 2

A ordenada do vértice:
yV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (38)
yV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (39)   (como HPdeMat - Função do 2º Grau (40) é positivo o resultado é negativo)
yV = – 4

Então:
V(xV , yV) = V(2, – 4)

Outra maneira de se obter a ordenada:
A ordenada do vértice é o correspondente da abscissa do vértice, ou,
f(xV) = yV

Assim:
f(x) = x2 – 4 x
f(2) = 22 – 4 ⋅ 2   (xV = 2)
f(2) = 4 – 8
f(2) = – 4   (yV = – 4)

Portanto, o vértice é  V(2, – 4)


Construindo um Esboço Gráfico

Com três pontos pode-se fazer um esboço gráfico da função do 2º grau.

Entretanto, o ideal seria ter cinco para se ter uma visão mais completa:
a abscissa do vértice, dois valores menoresedois valores maiores.

Exemplo:
Faça um esboço gráfico da função dada pela lei:
f(x) = x2 – 4 x

A abscissa do vértice é o valor de "xV" que é "2".
Dois valores menores que "xV" 0 e 1.
Dois valores maiores que "xV" 3 e 4.

Substituindo os valores:

f(x) = x2 – 4 x
f(0) = 02 – 4 ⋅ 0 = 0 – 0 = 0
f(1) = 12 – 4 ⋅ 1 = 1 – 4 = – 3
f(2) = – 4   (o par do vértice de "x" é o vértice de "y")
f(3) = 32 – 4 ⋅ 3 = 9 – 12 = – 3
f(4) = 42 – 4 ⋅ 4 = 16 – 16 = 0

Construindo uma pequena tabela com esses cinco valores:

x f(x)
0 0
1 – 3
2 – 4
3 – 3
4 3

HPdeMat - Função do 2º Grau (41)

Imagem da Função

A imagem da função do 2° grau depende do sinal de "a",
e também do valor do vértice de "y".

HPdeMat - Função do 2º Grau (42)

Se a < 0 a imagem é dada por:
Im(f) = { y ∈ IR ; y ≤ – HPdeMat - Função do 2º Grau (43) }

HPdeMat - Função do 2º Grau (44)

Se a > 0 a imagem é dada por:
Im(f) = { y ∈ IR ; y ≥ – HPdeMat - Função do 2º Grau (45) }


Exemplo:
Determine a imagem da função cuja lei é:
f(x) = x2 – 4 x

Como  "a"  épositivo e yV = – 4  então, a imagem é dada por:

Im(f) = { y ∈ IR ; y ≥ – 4 } = [ – 4, + ∞ [


Crescente eDecrescente

Uma função do 2° grausempre é crescente em um intervalo aberto, e,
é decrescente em outro.

Assim:
Se a > 0,
f é decrescente em ] – ∞ ; – HPdeMat - Função do 2º Grau (46) [  e crescente em  ]HPdeMat - Função do 2º Grau (47) ; + [

Se a < 0,
f é crescente em  ] ; – HPdeMat - Função do 2º Grau (48) [  e  decrescente em  ]HPdeMat - Função do 2º Grau (49) ; + [


Observação
Quando x = – HPdeMat - Função do 2º Grau (50) a função nemécrescentenemdecrescente.


Exemplo:
Determine o intervalo onde a função cuja lei é:
f(x) = x2 – 4 x   é crescente.

Saber se a função é crescente ou decrescente depende,
do sinal de "a" e do valor do vértice de "x".

Como "a" épositivo e xV = 2 então a funçãoécrescente para x ≥ 2.

Portanto, a função é crescente no intervalo  ] 2 ; + ∞ [


Ponto de Máximo oude Mínimo


Exemplo:
Determine o ponto demáximoou demínimo onde a função cuja lei é:
f(x) = x2 – 4 x  écrescente.

Como a > 0 o vértice é o ponto de mínimo.

xV = 2   e   yV = – 4 então V(2, – 4).

Portanto, o ponto de mínimo é (2, – 4).


Estudo do Sinal da Função

Para estudar o sinal da função do 2° grau é necessário encontrar as raízes.

Na função f(x) = x2 – 4 x,
para encontrar as raízes f(x) tem que ser zero.

x2 – 4 x = 0  (equação do 2º grau incompleta)

Pode-se encontrar as raízes por fatoração (colocando o "x" em evidência)
x ⋅ (x – 4) = 0  (um produto é zero quando um dos fatores for zero)

Neste caso, se tem que:
x = 0   ou   x – 4 = 0

x – 4 = 0
x = 4

Assim, as raízes são 0 e 4.

Observando o gráfico da função f(x) = x2 – 4:
HPdeMat - Função do 2º Grau (51)

Embora não estejam marcados, dá para perceber no gráfico que:
as raízes são 0 e 4, pois, as raízes são os valores de "x",
onde a função "corta" o eixo das abscissas (eixo horizontal)

Também dá para perceber que a parábola:
está abaixodo eixo horizontal quando "x" está "entre as raízes",
isto é, entre a menor raiz e a maior raiz.
"menor raiz" < x < "maior raiz"  (entre as raízes)

está acimado eixo horizontal quando "x" está "fora das raízes",
isto é, à esquerda da menor raiz ou à direita da maior raiz.
x < "menor raiz"  oux > "maior raiz"  (fora das raízes)

Assim:
se x < 0  ou  x > 4  então  f(x) > 0
Lê-se: se "x" for menor do que 0, ou,
"x" for maior do que 4 então, f(x) épositiva.

Que é o mesmo que dizer:
f(x) > 0  quando x < 0  ou  x > 4
Lê-se: a funçãoépositivaquando "x" é menor do que 0, ou,
quando "x" émaior do que 4.


se 0 < x < 4   então   f(x) < 0
Lê-se: se "x" for maior do que 0, e,
"x" é menor do que 4 então, f(x) é negativa.

Que é o mesmo que dizer:
f(x) < 0  quando  0 < x < 4
Lê-se: a funçãoé negativa quando "x" é maior do que 0, e,
"x" é menor do que 4.


se  x = 0  ou  x = 4, então f(x) = 0
Lê-se: se "x" for igual a 0, ou,
"x" for igual a 4 então, f(x) é nula.

Que é o mesmo que dizer:
f(x) = 0  quando  x = 0  ou  x = 4
Lê-se: a funçãoénulaquando "x" é iguala 0, ou,
"x" é igual a 4.


Generalizando

De maneira geral, o estudo do sinal da função do 2° grau, f,
dada pela lei: f(x) = a x2 + b x + c é:

Quando a > 0

Se Δ < 0:
f(x) > 0  ∀ x ∈ IR.
Lê-se: f(x) é positiva para todo valor de "x" real.

Se Δ = 0:
f(x) = 0   quando   x = raiz.
Lê-se: f(x) é nulaquando "x" é igual araiz.

f(x) > 0   quando   x ≠ raiz.
Lê-se: f(x) é positiva quando "x" é diferente daraiz.

Se Δ > 0:
f(x) > 0  quando  x < n  ou x > m
f(x) < 0  quando  n < x < m
f(x) = 0  quando  x = n  ou x = m

Onde "n" é amenor raize "m" é amaior raiz.


Quando a < 0

Se Δ < 0:
f(x) < 0 para todo valor de "x".

Se Δ = 0:
f(x) < 0  quando  x ≠ raiz.
f(x) = 0  quando  x = raiz.

Se Δ > 0:
f(x) > 0  quando  n < x < m
f(x) < 0  quando  x < n  ou x > m
f(x) = 0  quando  x = n  ou x = m

Onde "n" é amenor raize "m" é amaior raiz.


Exemplo:
Estude o sinal da função cuja lei é dada por:
f(x) = – x2 + 2 x + 3

Encontrando as raízes da função:

Fazendo f(x) = 0
– x2 + 2 x + 3 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ b
Δ = 22 – 4 ⋅ (– 1) ⋅ 3
Δ = 4 + 12
Δ = 16

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (52)

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (53)

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (54)

x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (55)
x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (56)
x′ = – 1

x′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (57)
x′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (58)
x′′ = 3

Colocando as raízes em uma reta:
HPdeMat - Função do 2º Grau (59)

Como a < 0 e Δ > 0 então:
f(x) < 0  quando x < – 1  ou x > 3
f(x) = 0  quando x = – 1  ou x = 3
f(x) > 0  quando – 1 < x < 3


Observações

A função do 2º grau sempre tem:
o sinal do coeficiente "a" quando os valores estão fora das raízes.

E o sinal contrário ao sinal do coeficiente "a" entre as raízes.

Se só tiver uma raiz então tem:
o mesmo sinal de "a" para todo "x", excetona raiz (que é nula).

Se não tiver raiz real então tem:
o mesmo sinal de "a" para qualquer "x" real.


A função terá o sinal contrário ao sinal de "a" apenas entre as raízes.


Interpretação Gráfica

Dado o esboço gráfico abaixo, se pode concluir que:
HPdeMat - Função do 2º Grau (60)

① Trata-se de uma função do 2º grau, pois o gráfico é uma parábola.

② O sinal de "a" é negativo, pois a concavidade está para baixo.

③ A função énulaquando x = – 1 ou x = 3, pois é onde"corta"o eixo de x.

④ Épositiva em – 1 < x < 3, pois é onde ela está acima do eixo de x.

⑤ Énegativa em x < – 1 ou x > 3, pois é onde ela está abaixo do eixo de x.

⑥ O vértice é seu ponto de máximoesuas coordenadas são V(1, 2).

⑦ Écrescente no intervalo ] – ∞ ; 1 [

⑧ Édecrescente no intervalo ] 1 ; + ∞ [

⑨ A imagem da função é o intervalo ]– ∞ ; 2 ]

⑩ Há três pontos conhecidos na função:
   (– 1, 0) = ( – 1, f(– 1) )
  (1, 2) = ( 1, f(1) )
  ( 3, 0 ) = ( 3, f(3) )

Então, é possível encontrar a sua lei de formação:

f(x) = a x2 + b x + c

f(– 1) = a ⋅ (– 1)2 + b ⋅ (– 1) + c
0 = a ⋅ 1 – b + c
0 = a – b + c
b = a + c

f(1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c
2 = a + b + c

Como   a + c = b   tem-se:
2 = b + (a + c)
2 = b + (b)
2 = 2 b
HPdeMat - Função do 2º Grau (61) = b
1 = b

f(3) = a ⋅ 32 + b ⋅ 3 + c
0 = 9 a + 3 b + c
0 = 8 a + a + 3 b + c
0 = 8 a + 3 b + (a + c)
0 = 8 a + 3 b + (b)
0 = 8 a + 4 b
0 = 8 a + 4 ⋅ 1
– 4 = 8 a
HPdeMat - Função do 2º Grau (62) = a
HPdeMat - Função do 2º Grau (63) = a

a + c = b
HPdeMat - Função do 2º Grau (64) + c = 1
c = 1 + HPdeMat - Função do 2º Grau (65)
c = HPdeMat - Função do 2º Grau (66)

Portanto, a lei de formação de f é dada por;
f(x) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (67) x2 + x + HPdeMat - Função do 2º Grau (68)


Outra maneira

Pode-se obter a equação quando se conhece as raízes,
escrevendo na forma fatorada:

f(x) = a (x – x′) (x – x′′)
Onde x′ e x′′, são os zerosouraízes da função.

As raízes são – 1 e 3  (onde a função corta o eixo dos "x")
x – x′ = x – (– 1 )
x – x′ = x + 1

x – x′′ = x – 3

Assim:
f(x) = a (x – x′) (x – x′′)
f(x) = a (x + 1) (x – 3)

f(x) = a (x2 – 3 x + x – 3)
f(x) = a (x2 – 2 x – 3)

Como V(1, 2) = (1, f(1) ) então:

f(x) = a (x2 – 2 x – 3)
f(1) = a (12 – 2 ⋅ 1 – 3)
2 = a (1 – 2 – 3)
2 = a (1 – 5)
2 = – 4 a
2 = – 4 a   (multiplicando por   – 1)
– 2 = 4 a
HPdeMat - Função do 2º Grau (69) = a
HPdeMat - Função do 2º Grau (70) = a

Daí:
f(x) = a (x + 1) (x – 3)
f(x) = a ⋅ (x2 – 2 x – 3)
f(x) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (71) ⋅ (x2 – 2 x – 3)
f(x) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (72) x2 + x + HPdeMat - Função do 2º Grau (73)


Inequação 2° Grau

Uma inequação do2° grau é uma desigualdade da forma:
a x2 + b x + c < 0  (> 0;   0  ou  0)


Resolução:

Para se resolver a inequação x2 – 2 x – 3 ≤ 0,
encontra-se as raízes.

x2 – 2 x – 3 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = (– 2)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (– 3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (74)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (75)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (76)
x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (77)
x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (78)
x′ = 3

x′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (79)
x′′ = – HPdeMat - Função do 2º Grau (80)
x′′ = – 1

Como não se tem o gráfico da função para observar,
usa-se o sinal de "a" para a regra dos sinais.

Como a > 0, então apenas entre as raízes é negativo.

HPdeMat - Função do 2º Grau (81)

Como se deseja que x2 – 2 x – 3  seja negativo ou nulo ( ≤ 0 ),
a solução é dada por:

Na notação de conjunto:
S = { x ∈ IR ; – 1 ≤ x ≤ 3 }

Na notação de intervalo real:
S = [– 1 ; 3 ]


Exercícios Resolvidos

R01 —Sendo f: IR IR uma função definida por:
f(x) = – 2 x2 – 3 x – 2, obtenha:
a) f(3) + f(– 2)   b) o valor de x para que f(x) = – 7

a) Encontrando f(3):
f(x) = – 2 x2 – 3 x – 2
f(3) = – 2 ⋅ 32 – 3 ⋅ 3 – 2
f(3) = – 2 ⋅ 9 – 9 – 2
f(3) = – 18 – 9 – 2
f(3) = – 29

Encontrando f(– 2):
f(– 2) = – 2 ⋅ (– 2)2 – 3 ⋅ (– 2) – 2
f(– 2) = – 2 ⋅ 4 + 6 – 2
f(– 2) = – 8 + 6 – 2
f(– 2) = – 4

Encontrando f(3) + f(– 2)
f(3) + f(– 2) = – 29 – 4 = – 33

Portanto, f(3) + f(– 2) = – 33.

b) Como se deseja que f(x) = – 7 então:
f(x) = – 2 x2 – 3 x – 2
– 7 = – 2 x2 – 3 x – 2
2 x2 + 3 x + 2 – 7 = 0
2 x2 + 3 x – 5 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = 32 – 4 ⋅ 2 ⋅ (– 5)
Δ = 9 + 40
Δ = 49

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (82)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (83)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (84)
x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (85)
x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (86)
x′ = 1

x′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (87)
x′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (88)
x′′ = – HPdeMat - Função do 2º Grau (89)

Portanto, há dois valores:  x = 1  e  x = – HPdeMat - Função do 2º Grau (90)


R02 —Determine os pontos onde as funções reais dadas pelas leis:
f(x) = 2 x + 3  e  g(x) = – x2 – 9 se encontram.

Para que as funções se encontrem é necessário que f(x) = g(x).

Igualando f(x) a g(x):
2 x + 3 = – x2 – 9
x2 + 9 + 2 x + 3 = 0
x2 + 2 x + 12 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = 22 – 4 ⋅ 1 ⋅ 12
Δ = 4 – 48
Δ = – 44

Como Δ < 0 não há raízes reais, então:
f(x) e g(x) nunca se encontram.


R03 —Dada a função f(x) = x2 – 4 x – 5, determine:
a) a imagem da função
b) o ponto de máximo ou de mínimo
c) os zeros da função
d) o estudo do sinal

a) A imagem depende de "y" do vértice:

Encontrando Δ:
Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = (– 4)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (– 5)
Δ = 16 + 20
Δ = 36

Encontrando "y" do vértice:
yV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (91)
yV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (92)
yV = – 9

Como a > 0, então:
Im(f) = { y ∈ IR ; y ≥ – 9 }

b) O ponto de máximo ou de mínimo é o vértice:

Encontrando "x" do vértice:
xV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (93)
xV = HPdeMat - Função do 2º Grau (94)
xV = 2

Como a > 0, então o vértice é o ponto de mínimo:
V(2, – 9)

c) Os zeros da função são as raízes.

f(x) = x2 – 4 x – 5

Δ = 36

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (95)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (96)
x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (97)
x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (98)
x′ = 5

x′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (99)
x′′ = – HPdeMat - Função do 2º Grau (100)
x′′ = – 1

Os zeros ou raízes da função são x = – 1   e   x = 5.

d) Como a > 0, então:
f(x) > 0   quando   x < – 1   ou   x > 5
f(x) < 0   quando   – 1 < x < 5
f(x) = 0   quando   x = – 1   ou   x = 5


R04 —(ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo,
tangente ao eixo das abscissas:
a) y = x2
b) y = x2 – 4 x + 4
c) y = – x2 + 4 x – 4
d) y = – x2 + 5 x – 6
e) y = x – 3

Como a concavidade é voltada para baixo então a < 0.
Como é tangente ao eixo dos "x" então "intercepta" apenas em um ponto.

Nas alternativas "a" e "b" o coeficiente a > 0, logo não servem.
Na alternativa "e" não se trata de uma função do 2° grau.
A alternativa "d" tem duas raízes, x = 2 e x = 3.
y = – x2 + 4 x – 4, tem apenas uma raiz que é x = 2 (na verdade raiz dupla).

Alternativa "c".


R05 —A função do 2° grau f(x) = a x2 – 4 x – 16 tem uma raiz cujo valor é 4.
A outra raiz é:
a) 1   b) 2   c) 3   d) – 1   e) – 2

Como 4 é uma raiz então:
f(4) = 0

f(x) = a x2 – 4 x – 16
0 = a ⋅ 42 – 4 ⋅ 4 – 16
0 = 16 a – 16 – 16
0 = 16 a – 32
32 = 16 a
HPdeMat - Função do 2º Grau (101) = a

Assim:
a = 2

Daí, a lei da função é:
f(x) = a x2 – 4 x – 16
f(x) = 2 x2 – 4 x – 16

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = (– 4)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ (– 16)
Δ = 16 + 128
Δ = 144

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (102)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (103)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (104)

x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (105)
x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (106)
x′ = 4

x′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (107)
x′′ = – HPdeMat - Função do 2º Grau (108)
x′′ = – 2

Alternativa "e".


R06 —UNIFESP (2002) O gráfico da função f(x) = a x2 + b x + c  (a, b, c reais),
contém os pontos (– 1, – 1), (0, – 3) e (1, – 1).   O valor de b é:
a) – 2   b) – 1   c) 0   d) 1   e) 2

Como (0, – 3) = ( 0, f(0) ) então:
f(0) = – 3 tem-se:

f(x) = a x2 + b x + c
f(0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c
– 3 = 0 + 0 + c

c = – 3

Como (– 1, – 1) = ( – 1, f(– 1) ) então:
f(– 1) = – 1 tem-se:

f(x) = a x2 + b x + c
f(– 1) = a ⋅ (– 1)2 + b ⋅ (– 1) + (– 3)
– 1 = a – b – 3
– 1 + 3 = a – b

a – b = 2

Como (1, – 1) = ( 1, f(1) ) então:
f(1) = – 1 tem-se:

f(x) = a x2 + b x + c
f(1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 – 3
– 1 = a + b – 3
– 1 + 3 = a + b
2 = a + b

a + b = 2

Na equação  a – b = 2, então:
a = b + 2

Substituindo   a = b + 2   na equação  a + b = 2, então:
"a" + b = 2
"b + 2" + b = 2
b + b = 2 – 2
2 b = 0

Logo, b = 0

Alternativa "c'.


R07 —UFPA (2008) O vértice da parábola y = a x2 + b x + c é o ponto (– 2, 3).
Sabendo que 5 éaordenadaonde a curva corta o eixo vertical, pode-se afirmar que:
a) a > 1, b < 1 e c < 4
b) a > 2, b > 3 e c > 4
c) a < 1, b < 1 e c > 4
d) a < 1, b > 1 e c > 4
e) a < 1, b < 1 e c < 4

Como (0, 5) é um ponto da curva e, (0, 5) = ( 0, f(0) ) então:
y = f(x) = a x2 + b x + c

f(0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c
5 = 0 + 0 + c

c = 5

Como xV = – 2
xV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (109)
– 2 = – HPdeMat - Função do 2º Grau (110)
2 = HPdeMat - Função do 2º Grau (111)
4 a = b

Como (– 2, 3) = ( – 2, f(– 2) ) então:

f(x) = a x2 + b x + c

f(– 2) = a ⋅ (– 2)2 + b ⋅ (– 2) + 5
3 = a ⋅ 4 – 2 b + 5
3 = 4 a – 2 b + 5
3 – 5 = 4 a – 2 b
– 2 = 4 a – 2 b

Mas  b = 4 a

– 2 = 4 a – 4 "b"
– 2 = 4 a – 2 ⋅ "4 a"
– 2 = 4 a – 8 a
– 2 = – 4 a
2 = 4 a
HPdeMat - Função do 2º Grau (112) = a
HPdeMat - Função do 2º Grau (113) = a

Como  b = 4 a, então:
b = 4 ⋅ HPdeMat - Função do 2º Grau (114)
b = HPdeMat - Função do 2º Grau (115)
b = 2

Assim:
a = 1/2,  b = 2  e  c = 5.

Alternativa "d".


R08 —Sabe-se que – 2  e  3 são raízes de uma função do 2º grau.
Se o ponto (– 1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5
e) o seu valor máximo é 12,5

Como a função do 2º grau é da forma f(x) = a x2 + b x + c

E quando se conhece as raízes, pode ser escrita na forma fatorada:
f(x) = a (x – x′) (x – x′′), onde x′ e x" são os zerosouraízes da função.

x – x′ = x – (– 2 )
x – x′ = x + 2

x – x′′ = x – 3

Assim:
f(x) = a (x – x′) (x – x′′)
f(x) = a (x + 2) (x – 3)

f(x) = a (x2 – 3 x + 2 x – 6)
f(x) = a (x2 – x – 6)

Como (– 1, 8) = ( – 1, f(– 1) ) então:

f(x) = a (x2 – x – 6)
f(– 1) = a ( (– 1)2 – (– 1) – 6 )
8 = a ( 1 + 1 – 6)
8 = a ( 2 – 6)
8 = – 4 a
8 = – 4 a   (multiplicando por  – 1)
– 8 = 4 a
HPdeMat - Função do 2º Grau (116) = a
– 2 = a

Daí:
f(x) = a (x + 2) (x – 3)
f(x) = a (x2 – x – 6)
f(x) = – 2 (x2 – x – 6)
f(x) = – 2 x2 + 2 x + 12

Como a = – 2 < 0 a função possui um valor máximo em:
yV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (117)

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = 22 – 4 ⋅ (– 2) ⋅ 12
Δ = 4 + 96
Δ = 100

Logo:
yV = – HPdeMat - Função do 2º Grau (118)
yV = HPdeMat - Função do 2º Grau (119)
yV = HPdeMat - Função do 2º Grau (120)
yV = 12,5

Alternativa "e".


R09 —Dado o gráfico abaixo, obtenha: as raízes, o intervalo onde,
a função é crescente, estude o sinal e determine a sua imagem.
HPdeMat - Função do 2º Grau (121)

É fácil observar que:
a < 0, pois concavidade está voltada para baixo.

O vértice é V(0, 2)

As raízes são – 1 e 1

A função é crescente no intervalo dado por:  ] – ∞ ; 0 [

f(x) > 0   quando   – 1 < x < 1
f(x) < 0   quando   x < – 1   ou   x > 1
f(x) = 0   quando   x = – 1   ou   x = 1

A imagem de f é dada por:  Im(f) = ] – ∞ ; 2 ]


R10 —Dê o conjunto-solução da inequação:
2 x2 + 4 x – 5 ≥ 0

Encontrando as raízes
2 x2 + 4 x – 5 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = 42 – 4 ⋅ 2 ⋅ (– 5)
Δ = 16 + 40
Δ = 56

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (122)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (123)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (124)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (125)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (126)

x′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (127)

x′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (128)

Como a > 0 então:
f(x) ≥ 0 fora das raízes (incluindo as raízes).
HPdeMat - Função do 2º Grau (129)

Então a solução é:
S = { x ∈ IR ; x ≤ HPdeMat - Função do 2º Grau (130)  ou x ≥ HPdeMat - Função do 2º Grau (131) }


R11 —Resolva a inequação (x2 + 4 x – 6) (3 x – 2) < 0

Tomando f(x) = x2 + 4 x – 6   e   g(x) = 3 x – 2

O zero da função g é encontrado fazendo g(x) = 0
3 x – 2 = 0
3 x = 2
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (132)

Os zeros fa função f são encontrados fazendo f(x) = 0
x2 + 4 x – 6 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = 42 – 4 ⋅ 1 ⋅ (– 6)
Δ = 16 + 24
Δ = 40

x = HPdeMat - Função do 2º Grau (133)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (134)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (135)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (136)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (137)

x′ = – 2 + √10

x′′ = – 2 – √10

Representando os sinais em três retas:
Colocando, por exemplo, na 1ª reta, os zeros da função do 2º grau.
Fora dos zeros da função, o mesmo sinal de a, isto é, positivo.
Entre os zeros da função, o sinal contrário.

Na 2ª reta, o zero da função do 1º grau.
A direita do zero da função, sinal de a, isto é, positivo.
A esquerda do zero da função, o sinal contrário.

HPdeMat - Função do 2º Grau (138)

Na 3ª reta, os sinais obdecem a regra de sinais do produto.

Como se deseja que (x2 + 4 x – 6) (3 x – 2)  seja negativo,
observa-se na 3ª reta onde está dando negativo:
A esquerda de   – 2 – √10  ou  entre   HPdeMat - Função do 2º Grau (139)  e  – 2 + √10

Então a solução é:
S = { x ∈ IR ; x < – 2 – √10  ou HPdeMat - Função do 2º Grau (140) < x < – 2 + √10 }


R12 —Dada a função f(x) = (– k2 + 3 k – 1) x2 – x – 3.
Determine k para que a função tenha a concavidade voltada para baixo.

Como se deseja que a concavidade esteja para baixo, a < 0.

Logo,  – k2 + 3 k – 1 < 0  (uma inequação em função de k)

Encontrando as raízes de:
– k2 + 3 k – 1 = 0

Δ = b2 – 4 ⋅ a ⋅ c
Δ = 32 – 4 ⋅ (– 1) ⋅ (– 1)
Δ = 9 – 4
Δ = 5

k = HPdeMat - Função do 2º Grau (141)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (142)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (143)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (144) ± HPdeMat - Função do 2º Grau (145)
x = HPdeMat - Função do 2º Grau (146) ± HPdeMat - Função do 2º Grau (147)

k′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (148)HPdeMat - Função do 2º Grau (149)

k′′ = HPdeMat - Função do 2º Grau (150) + HPdeMat - Função do 2º Grau (151)

Como se deseja que  – k2 + 3 k – 1  seja negativo então:
a solução está fora das raízes.
HPdeMat - Função do 2º Grau (152)

S = { k ∈ IR ; k < HPdeMat - Função do 2º Grau (153)HPdeMat - Função do 2º Grau (154)  ou k > HPdeMat - Função do 2º Grau (155) + HPdeMat - Função do 2º Grau (156) }


R13 —Obtenha um valor para "p" de forma que a equação:
2 x2 + (p + 3) x + p + 1 = 0  não tenha raízes reais.

Para que as raízes não sejam reais, então:
Δ < 0

Como,  a = 2, b = p + 3  e c = p + 1, então:
b2 – 4 a c < 0

(p + 3)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ (p + 1) < 0
p2 + 2 ⋅ 3 ⋅ p + 32 – 8 (p + 1) < 0
p2 + 6 p + 9 – 8 p 8 < 0
p2 + 6 p – 8 p + 9 – 8 < 0
p2 – 2 p + 1 < 0

Trata-se de uma inequação do 2º grau em "p"

Encontrando as raízes:
Como,  a = 1, b = –2  e c = 1, então:
Δ = b2 – 4 a c
Δ = (–2)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 1
Δ = 4 – 4
Δ = 0

p = HPdeMat - Função do 2º Grau (157)
p = HPdeMat - Função do 2º Grau (158)
p = HPdeMat - Função do 2º Grau (159)
p = HPdeMat - Função do 2º Grau (160)
p = 1

HPdeMat - Função do 2º Grau (161)
Logo, é positiva para valores diferentes de 1, e,
é nula quando p for igual a 1.

Não dá negativo para nenhum valor de p.

Portanto, não existe valor para "p" que façaa equação:
2 x2 + (p + 3) x + p + 1 = 0  não ter raízes reais.


Exercícios Propostos

P01 —Sendo a função real dada por f(x) = x2 – 3 x + 2 obtenha f(– 2) – f(5) e,
determine x tal que f(x) = – 2.


P02 —A função f(x) = 4 x2 – 2 x + 3 é crescente em que intervalo?


P03 —O ponto (2, – 1) é o vértice da função quadrática que:
corta o eixo de y no ponto P(0, 3).  Escreva a lei dessa função.


P04 —Encontre os pontos de intersecção entre as funções:
f(x) = – 2 x + 3  e g(x) = x2 – 4 x + 3.
Esboce o gráfico das funções num mesmo plano cartesiano,
destacando os pontos de encontro.


P05 —CEFET - BA) O gráfico da função y = a x2 + b x + c tem,
uma só intersecção com o eixo Ox e, corta o eixo Oy em (0, 1).
Então, os valores de a e b obedecem à relação:
a) b2 = 4 a
b) – b2 = 4 a
c) b = 2 a
d) a2 = – 4 a
e) a2 = 4 b


P06 —Dado o gráfico abaixo, determine:
a lei de formação da função que melhor o representa:
HPdeMat - Função do 2º Grau (162)


P07 —O gráfico da função f(x) = x2 – 6 x + K passa pelo ponto P(1, 3).
Determine:
a) o vértice da função    b) a imagem da função


P08 —O gráfico da função f(x) = a x2 + b x + c passa pelos pontos:
A(0, 3), B(1, 0) e C(2, – 1).  Determine:
a) os coeficientes   b) as raízes


P09 —Dada a função f(x) = x2 + 6 x + 7 k, determine k para que se tenha:
a) apenas uma raiz    b) duas raízes reais    c) não tenha raiz real


P10 —Dada a função f(x) = (– k2 – 5 k + 6) x2 – 2 x + 1,
determine k para que a função tenha a concavidade voltada para cima.


P11 —Dada a função f(x) = x2 – x + 8, determine:
a) a imagem da função   b) onde a função é positiva


P12 —Faça um esboço gráfico da função f(x) = – x2 – 2 x + 1.


P13 —O número – 2 é a raiz da função f(x) = 4 x2 – 5 x – 3 k.
Determine o valor do coeficiente k.


P14 —(PUC – SP) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por:
f(x) = – HPdeMat - Função do 2º Grau (163) + HPdeMat - Função do 2º Grau (164) com uma unidade representando o quilômetro.
Determine a altura máxima que o projétil atingiu.


P15 —Considere a função real definida por f(x) = x2 – 2 x + 5.
Pode-se afirmar corretamente que:
a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4)
b) f possui dois zeros reais e distintas
c) f atinge um máximo para x = 1
d) gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas
e) nda


P16 —Resolva a inequação x – 4 x2 > 0.


P17 — Determine o conjunto-solução de HPdeMat - Função do 2º Grau (165) ≥ 0.


P18 —Calcule k de modo que a função f(x) = k x2 – 2 x + 3 admita 2 como raiz.


P19 —Resolva a inequação HPdeMat - Função do 2º Grau (166) ≤ 0.

P20 —Resolva a inequação – 3 x2 + 2 x – 1 > 0.


P21 —Determine "a" e "b" de modo que a função:
f(x) = a x2 + b x + 3 tenha vértice V(2, – 1).


P22 —Seja f(X) = a x2 + b x + c. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = – 2,
calcule o produto a ⋅ b ⋅ c.


P23 —Determine o valor de p e q na função quadrática:
f(x) = p x2 + q x + 12, sendo suas raízes são iguais a – 4 e 3.


P24 —O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente,
é descrito pela lei h(x) = – 40 x2 + 200 x.
Onde h(x) é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento.
Encontre:
a) a altura máxima atingida pelo projétil.
b) o tempo que esse projétil permanece no ar.


P25 —Resolva a inequação HPdeMat - Função do 2º Grau (167) < 8.


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Name: Virgilio Hermann JD

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Job: Accounting Engineer

Hobby: Web surfing, Rafting, Dowsing, Stand-up comedy, Ghost hunting, Swimming, Amateur radio

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